අතාත්වික ඒකකය

ගණිතයෙහිදී, අතාත්වික ඒකකය හෝ ඒකක අතාත්වික සංඛ්‍යාව යන්න විසින්, තාත්වික සංඛ්‍යා පද්ධතිය R, අතාත්වික සංඛ්‍යා පද්ධතිය C වෙත ව්‍යාප්ත කිරීමට ඉඩ සලසන අතර, ඉන් අනතුරුව මෙය විසින්, බහුපද ප්‍රකාශන P(x) සඳහාම අවම වශයෙන් එක් මූලයක් හෝ සපයයි ( වීජීය සංවෘතිය සහ වීජ ගණිතයෙහි මූලික ප්‍රමේයය බලන්න). ඉතා බහුල ලෙසින් අතාත්වික ඒකකය දක්වනු ලබන්නේ i ලෙසිනි. අතාත්වික ඒකකයේ හරාත්මක ලක්ෂණය වන්නේ i² = −1 යන්නයි. "අතාත්වික" යන පදය භාවිතා වන්නේ, සෘණ වර්ගයක් සහිත තාත්වික සංඛ්‍යාවක් නොපවතින බැවිනි.

සංකීර්ණ හෝ කාටීසියානු තලයෙහි i. තාත්වික සංඛ්‍ය තිරස් අක්ෂයෙහි වන අතර, අතාත්වික සංඛ්‍යා සිරස් අක්ෂයෙහි වෙයි

එක් ද්විත්ව වර්ග මූලයක් සහිත ශුන්‍යය හැර, අනෙකුත් සියළු තාත්වික සංඛ්‍යාවන්ට සංකීර්ණ වර්ග මූලයන් දෙකක් ඇති ලෙසින්ම, −1 සඳහාද සත්‍ය වශයෙන්ම, i සහ −i නමැති, සංකීර්ණ වර්ග මූල දෙකක් ඇත.

i යන්න උභයාර්ථවාචී හෝ ගටළු සහගත වන අවස්ථාවන්හීදී, j හෝ ග්‍රීක ι යන්න ( විකල්ප අංකන බලන්න) සමහර විට භාවිතා වෙයි. විදුලි ඉංජිනේරු විද්‍යාව සහ පාලන පද්ධති ඉංජිනේරු විද්‍යාව ශික්ෂණයන්හිදී, i වෙනුවට අතාත්වික ඒකකය බොහෝ විට නිරූපණය වන්නේ j යන්නෙන් වන අතර, එසේ වන්නේ i යන්න මෙම ශික්ෂයන්හිදී බහුල ලෙසින් විද්‍යුත් ධාරාව නිරූපණය කිරීමට භාවිතා වන බැවිනි.

අතාත්වික ඒකකයෙහි ඉතිහාසය සඳහා, සංකීර්ණ සංඛ්‍යාව: ඉතිහාසය බලන්න.

අර්ථදැක්වීම

i හී බලයන් චක්‍රීය අගයයන් ලබා දෙයි:

$\ldots$ (නිල් පැහැ පෙදෙසෙහි රටාව පුනරොවර්තනය කරයි)

$i^{-3}=i\,$

$i^{-2}=-1\,$

$i^{-1}=-i\,$

$i^{0}=1\,$

$i^{1}=i\,$

$i^{2}=-1\,$

$i^{3}=-i\,$

$i^{4}=1\,$

$i^{5}=i\,$

$i^{6}=-1\,$

$\ldots$ (නිල් පැහැ පෙදෙසෙහි රටාව පුනරොවර්තනය කරයි)

i යන අතාත්වික සංඛ්‍යාව අර්ථදක්වන්නේ එහි වර්ගය ලබාදෙනුයේ −1 යන ගුණාංගය වෙතින් පමණි:

$i^{2}=-1\ .$

i මෙසේ අර්ථ දැක්වූ විට, වීජ ගණිතය අනුව සෘජු ලෙසින් එයින් ගම්‍ය වන්නේ, i සහ −i යන දෙකම −1 හී වර්ග මූලයන් වන බවයි.

මෙම සැදුම "අතාත්වික" යැයි නම් කෙරුණු නමුදු, තාත්වික සංඛ්‍යා සංකල්පයට වඩා අතාත්වික සංඛ්‍යා සංකල්පය ග්‍රහණය කෙරුම ප්‍රතිභාන ලෙසින් වඩාත් අපහසු නමුදු, ගණිතමය ස්ථාවරයකින් මෙම සැදුම සම්පූර්ණයෙන්ම නීතික වෙයි. ප්‍රකාශයක් මෙහෙයවීමේදී i යන්න අඥාත රාශියක් ලෙසින් සලකා, අතාත්වික හා සංකීර්ණ සංඛ්‍යා වෙතට තාත්වික සංඛ්‍යා මෙහෙයුම් ව්‍යාප්ත කළ හැකි අතර, ඉන්පසු කිසියම් i ² පැවතීමක් −1 යන්නෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කිරීමට අර්ථදැක්වීම භාවිතා කළ හැකි වෙයි. i හී උච්ච පූර්ණ සංඛ්‍යාමය බලයන්, −i, 1, i, හෝ −1 යන්නෙන් ප්‍රතිස්ථාපනය කළ හැකිය:

$i^{3}=i^{2}i=(-1)i=-i\,$

$i^{4}=i^{3}i=(-i)i=-(i^{2})=-(-1)=1\,$

$i^{5}=i^{4}i=(1)i=i\,$

එපරිද්දෙන්ම,

$i^{0}=i^{1-1}={\frac {i}{i}}=1\,$

i සහ −i

බහු මූල නොමැත්තාවූ, වර්ගජ බහුපද ප්‍රකාශනයක් වන බැවින්, x² = −1 යන අර්ථදැක්වීමේ සමීකරණය සඳහා, සමාකාර ලෙසින් නීතික වන්නාවූ සහ එකිනෙකාගේ ආකලන සහ ගුණන ප්‍රතිලෝම වන, ප්‍රභින්න විසඳුම් දෙකක් වෙයි. වඩාත් නිවැරැදිව පැවසුවොත්, සමීකරණයේ විසඳුමක් ලෙසින් i තෝරාගත් පසු, i යන්නෙන් ප්‍රභින්නවූ, −i යන අගයද විසඳුමක් වෙයි. මෙම සමීකරණය, i යන්නෙහි එකම විසඳුම වන බැවින්, අර්ථදැක්වීම උභයාර්ථවාචී බවක් පෙනෙයි (වඩාත් නිවැරැදි ලෙසින් පවසතොත්, සුවිශද නොවේ). කෙසේවෙතත්, විසඳුම් අතුරින් එකක් තෝරාගෙන එය "ධන i" ලෙස තිර කර කල්හී, උභයාර්ථවාචී බවක් ඇතිවීම වැලකේ. එය එසේ වන්නේ, −i සහ i යන්නන් ප්‍රමාණාත්මක ලෙසින් සමතුල්‍ය නොවුනද (ඒවා එකිනෙකෙහි සෘණ අගයයන් වෙති), i සහ −i අතර වීජීය වෙනසක් නොමැති නිසාය. අතාත්වික සංඛ්‍යා දෙකම, තම සංඛ්‍යාවෙහි වර්ගය −1 බවට කියාපාමින් අයිතිවාසිකම් පාති. අතාත්වික හෝ සංකීර්ණ සංඛ්‍යා ගැන ලියැවුනු සියළු ගණිත පෙළ පොත් සහ ප්‍රකාශිත ශාස්ත්‍රිය ග්‍රන්ථ රැගෙන, +i හමුවන සැම තන්හී එය වෙනුවට −i ආදේශ කරමින් (සහ එලෙසින්ම −i පවතින සැම තන්හීම එය වෙනුවට −(−i) = +i ) ආදේශ කොට යළි ප්‍රකාශයට පත් තල හොත්, සමස්ත සිද්ධාන්ත හා ප්‍රමේයයන් සමතුල්‍ය ලෙසින් නිරතුරුව නීතික වනු ඇත. එයින් එකක් "ධන" ලෙසින් නම් කරමින් x² + 1 = 0 යන සමීකරණයේ මූල x දෙක අතර වෙනස ශුද්ධ වශයෙන්ම අංකන අවශිෂ්ට වෙයි; මූල දෙකින් කුමන හෝ එකක්, අනෙකට වඩා ප්‍රාථමික හෝ මූලික යැයි කිව නොහැක.