සමාන්තර ශ්‍රේණියක ඓක්‍යය

සමාන්තර ශ්‍රේඪියක සංරචකයන්ගේ ඓක්‍යය සමාන්තර ශ්‍රේණියක් නම් වේ.

සමාන්තර ශ්‍රේණියක අගය ගණනය කිරීම

n පද සංඛ්‍යාවක් ඇති පොදු අන්තරය d මගින් දෙනු ලබන a, a2 ,….., an සමාන්තර ශ්‍රේණියක ඓක්‍යය පහත ප්‍රකාශනයෙන් ලබාගත හැක.

$S_{n}=a_{1}+a_{2}+\dots +a_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}.$

ශ්‍රේණියේ පලමු සහ අවසාන පදයන්ගේ ඓක්‍ය දෙවැනි පදයේ සහ අවසාන පදයට පෙර පදයේ ඓක්‍යයට සමවන බවත් ඉතිරි පද සදහාද මෙම කරුණ සත්‍ය වන බවත් තවද දල වශයෙන් ශ්‍රෙණියේ මෙවන් යුගල n/2 පවතින බවත් වටහාගත් කල ඉහත ප්‍රකාශනය සත්‍ය බව සහජයෙන්ම වටහා ගත හැක. මෙම සුත්‍රයේ එක් ආකාරයක් ෆිබොනාච්චි ලෙස ප්‍රසිද්ධියට පත්ව ඇති පීසා හි ලියනාඩෝගේ ‘Liber Abaci’ (1202 – පරිච්ජේද II,12) හි අන්තර්ගතය වේ. මේ පිලිබඳ බොහෝ විට කියැවෙන කතාවක් නම් කාල් ෆ්‍රේඩ්රික්ගේ ගෝස් සියුගේ තුන්වැනි ශ්‍රේණියේදී මෙය නැවත සොයාගත් බවය එහිදී සිය ගුරුවරය‍ා‍ වු ජේ.ජී. බියුට්නර් මුල් සංඛ්‍යා 100 ඓක්‍යය පන්තියෙන් ඇසූවිට ගුරුවරයාගේ සහ ඔහුගේ සහායක මාටින් බාටෙල්ස් විමතියට පත් කරමින් කාල් ෆෙඩ්රික් ගවුස් ක්ෂණිකව නිවැරදි පිලිතුර (5050) ගණනය කලේය. ඒ අනුව 1 සිට 100 දක්වා 1 + 100 = 2 + 99 ............ = 50 + 51 ලෙස එකම ඓක්‍යය ඇති යුගල 50 ක් පවතින අතර එබැවින් ඒවායේ මුළු එකතුව 101 x 50 එනම් 5050 ට සමවේ.

සලකන ශ්‍රේණියේ පද සංඛ්‍යා ඔත්තේ වු විට ඉහත ක්‍රමය යොදා ගැනීමේ ඇති අපැහැදිලි බව මධ්‍යන්‍ය ක්‍රමයට සීතිම මගින් මගහරවා ගත හැක. ඒ අනුව සමාන්තර ශ්‍රේණියක අගය එහි පදයන්ගේ මධ්‍යන්‍යනයේත් පද සංඛ්‍යාවේත් ගුණිතයට සමාන වේ. ශ්‍රේණියේ පදවල මධ්‍යන්‍ය $(a_{1}+a_{n})/2$ ට සම විය යුතු යුතු වේ. ඊට හේතුව ශ්‍රේණියේ සංඛ්‍යා තාත්වික සංඛ්‍යා රේඛාව මත ඉහත අගය දෙපසින් සමානව විසිරී තිබීමයි. තවද ශ්‍රේණියේ පද අතර ඇත්තේ පොදු අන්තරයක් වීමද මේ සඳහා හේතු වේ. මෙය තවත් ක්‍රමයකට ප්‍රකාශ කල හැක.$(a_{k}+a_{n-k+1})/2,1\leq k\leq n$ නියතයක් වන අතර එය $(a_{1}+a_{n})/2$ ට සමාන වේ. මෙය ශ්‍රේණියේ ප්‍රතිවිරුද්ධ පැතිවලින් අනුපිළිවෙලින් පදයන් ලබාගෙන තනන යුගලයන්ගේ මධ්‍යන්‍යය එකම නියත අගයක් වේය යන කරුණ හා අනුරූප වන අතර, තවද ඒ අනුව එම මධ්‍යන්‍යය ශ්‍රේණියේ සියළුම පදවල මධ්‍යන්‍යය ද වේ.

සූත්‍රය සාධනය

සමාන්තර ශ්‍රේණි‍ය විධි දෙකකට ප්‍රකාශ කරන්න.

$S_{n}=a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots \dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d)$

$S_{n}=(a_{n}-(n-1)d)+(a_{n}-(n-2)d)+\dots \dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}$

සමීකරණ යුගලෙහි දෙපසෙහිම ඓක්‍යය ලබා ගන්න, d ඇතුළත් සියළු පද ඉවත්ව යයි. ඒ අනුව,

$\ 2S_{n}=n(a_{1}+a_{n})$ යන ප්‍රකාශනය ඉතිරි වේ. $a_{n}=a_{1}+(n-1)d$ බව සිහියට නඟා ගැනීමෙන් ද, නැවත සකස් කිරීමෙන් ද අපට පහත ප්‍රතිඵල ලැබේ.

$S_{n}={\frac {n(a_{1}+a_{n})}{2}}={\frac {n[2a_{1}+(n-1)d]}{2}}$

සමාන්තර ශ්‍රේණි සහ සිග්මා අංකනය

සාමාන්‍යයෙන් සමාන්තර ශ්‍රේණි සිග්මා අංකනය ඇසුරෙන් ප්‍රකාශ කරනු ලැබේ. උදාහරණයක් ලෙස,

$a_{1}+(a_{1}+d)+(a_{1}+2d)+\dots \dots +(a_{1}+(n-2)d)+(a_{1}+(n-1)d),$ යන සමාන්තර ශ්‍රේණිය

සිග්මා අංකනය භාවිතයෙන් පහත පරිදි වඩාත් කෙටියෙන් ලිවිය හැකිය

$\sum _{i=0}^{n-1}(a_{1}+id).$

එසේම,

$a_{1}+a_{2}+a_{3}+\dots \dots +a_{m-1}+a_{m}$ යන සමාන්තර ශ්‍රේණියක්

පහත පරිදි ලිවිය හැක

$\sum _{j=1}^{m}a_{j}.$

References

http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic_progression#Sum_.28arithmetic_series.29