"අවකලනය" හි සංශෝධන අතර වෙනස්කම්
Content deleted Content added
සුළුNo edit summary |
Merged content from ව්‍යුත්පන්න (අවකලනය) to here. |
||
8 පේළිය:
ශ්‍රිතයක අවමය හා උපරිමය සොයාගැනීම සඳහා ව්‍යුත්පන්නය බහුලව යොදාගැනේ. අවකලන සමීකරණ ලෙස හැඳින්වෙනනේ මෙවැනි ව්‍යුත්පන්න අන්තර්ගත සමීකරණයි. මේවා ස්වභාවික සංසිද්ධීන් විස්තර කිරීම සඳහා මූලිකව යොදා ගැනේ. ව්‍යුත්පන්න සහ ඒවායේ සාධාරණීකරණය කළ ආකාර ගණිතය පුරාම දැකගත හැක. සංකීර්ණ විශ්ලේෂණය , ශ්‍රිත‍ීය විශ්ලේෂණය , අවකල ජ්‍යාමිතිය මෙන්ම අමූර්ත වීජ ගණිතය වැනි විෂයපථ පවා මේ සඳහා උදාහරණ ලෙස පෙන්වා දිය හැක.
==ව්‍යුත්පන්න==
x හා y යනු තාත්වික සංඛ්‍යා හා y, x හි ශ්‍රිතයක් එනම් y = f(x) යයි සලකන්න. ඒකජ ශ්‍රිතයක් සරලතම ශ්‍රිත වර්ග වලින් එකකි. මෙය එහි ප්‍රස්ථාරය රේඛාවක් වන ශ්‍රිතයකි. එම අවස්ථාවේදී, y = f(x) = m x + c මෙහි m හා c ප්‍රස්ථාරයෙන් නිෂ්චය වන රේඛාව මත රදා පවතින තාත්වික සංඛ්‍යාවේ. m අනුක්‍රමණය ලෙස හදුන්වන අතර එය
[[ගොනුව:Maths1.JPG]]
මගින් දක්වයි. මෙහි Δ සංකේතය (ග්‍රීක අකුරු ඩෙල්ටාහි ලොකු අකුරු ආකාරය) ‘වෙනස්වීම’ දැක්වීමට කෙටි යෙදුමකි. මෙම සූත්‍රය සත්‍ය වනුයේ
y + Δy = f ( x + ∆x) = m(x + ∆x) + c = mx + c + m ∆x = y + m∆x.
එය Δy = mΔx. යන්න පිළිපදියි.
කෙසේ හෝ මෙය රේඛීය ශ්‍රිතවලට පමණක් සාධාරණ වේ. රේඛීය නොවන ශ්‍රිත සදහා පැහැදිලිව අර්ථකථනය කළ හැකි අනුක්‍රමණයක් නැත. x ලක්ෂ්‍යකදී f හි ව්‍යුත්පන්නය, f හි x ලක්ෂ්‍යයේදී අනුක්‍රමණයට ලබාදිය හැකි හොදම ආසන්න කිරීමයි. සාමාන්‍යයෙන් එය f'(x) හෝ dy/dx ලෙස නිරූපණය කරයි. x හිදී f හි අගය හා f හි ව්‍යුත්පන්නය මගින් x අසල f හි හොඳම රේඛීය ආසන්න කිරීම හෝ රේඛීයකරණය නිර්ණය කළ හැක. පසුව කී ලක්ෂණය සාමාන්‍යයෙන් ව්‍යුත්පන්නයේ අර්ථකථනය ලෙස ගනු ලැබේ.
මීට සම්බන්ධ සමීපතම ගුණය ශ්‍රිතයක අවකලයයි.
[[ගොනුව:Tangent-calculus.svg|thumb|(x, f(x)) හිදී ස්පර්ශක රේඛාව]]
x හා y තාතක්වික විචල්‍යයන් වන විට, x හිදී f හි ප්‍රස්තාරයට ඇඳි ස්පර්ශක රේඛාවේ අනුක්‍රමණය, x හිදී f හි ව්‍යුත්පන්නයයි. f හි ප්‍රබවය හා ඉලක්කය ඒක මාන වන නිසා , f හි ව්‍යුත්පන්නය තාත්වික සංඛ්‍යාවක් වේ. x හා y දෛශික නම් එකවර දිශා කිහිපයකට f වෙනස් වන ආකාරය මත f හි නිවැරදිම රේඛීය ආසන්න කිරීම රඳා පවතී. එක් දිශාවකට ලබාගන්නා නිවැරදිම රේඛීය ආසන්න කිරීම , ආංශික අවකලනයක් නිර්ණය කරන අතර එය ∂y/∂x ලෙස නිරූපණය කරයි. එක්වර සෑම දිශාවකටම f හි රේඛීයකරණය සමස්ත අවකලය ලෙස හදුන්වයි. එය රේඛීය පරිණාමනයක් වන අතර එය f හි ප්‍රස්ථාරයට වඩාත් ආසන්න අධිතලය නිර්ණය කරයි. මෙම අධිතලය, අධිස්පර්ශණ අධිතලය ලෙස හදුන්වයි, සංකල්පිතව මෙය සියලුම දිශාවන්ට එකවර ස්පර්ශක රේඛා නිර්මාණයට සමාන වේ.
==අවකලනයේ ඉතිහාසය==
ස්පර්ශක රේඛාව අනුසාරයෙන් ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳ වන සංකල්පය ඉතා පැරණි එකකි. යුක්ලීඩ් (නූතන යුගයට පෙර ක්‍රි.පූ. 300 වැනි සියවසටම සමවේ) ආකිමිඩීස් (c. 287 BCE – 212 BCE) ආදී ග්‍රීක ජ්‍යාමිතිකකරුවන් මෙම සංකල්පය පිළිබඳ දැන සිටියහ. ආකිමිඩීස් විසින් අත්‍යණුක භාවිතය ද හඳුන්වාදෙන ලද අතර එය මූලිකව ක්ෂේත්‍රඵල සහ පරිමා අධ්‍යයනයට භාවිතා වූ අතර ව්‍යුත්පන්න සහ ස්පර්ශකව ආශ්‍රිතව එහි එතරම් ප්‍රයෝජනයක් නොවීය. (“ආකිමිඩීස්ගේ අත්‍යනුක භාවිතය” බලන්න) 500 CE (common Era - නූතන යුගය - මෙය ක්‍රි.ව. වලට සමවේ) තරම් ඈත කාලයේ පවා ඉන්දියානු ගණිතඥයින් විචලන සීඝ්‍රතා අධ්‍යයනයට අත්‍යනුක භාවිතා කළ බවට සාධක පවතී. තාරකා විද්‍යාඥයෙකු සහ ගණිතඥයෙකු වූ අයර්බාතා (476 – 550) සඳෙහි අධ්‍යයනය සඳහා අත්‍යණුක භාවිතා කර ඇත. බස්කාරා (1114 – 1185) විසින් විචලන සීඝ්‍රතා ගණනය කිරීම සඳහා අත්‍යානුක භාවිතය විශාල ලෙස වැඩි දියුණු කරන ලදී. මෙසේ ඔහු දක්වන ලද දායකත්වය කෙතරම්දයත් ඔහුගේ සොයා ගැනීම් තුළ අවකලනයේ බොහෝ මූලික අදහස් අන්තර්ගත බවට මත පළ වී ඇත. අයිසැක් නිවුටන් (1643 – 1727) සහ හොට් ෆ්‍රෙඩ් (1646 – 1716) වෙන වෙනම අවකලනය සහ ව්‍යුත්පන්න සඳහා සංගත පිවිසුමක් ඉදිරිපත් කළ අතර ඔවුහු නූතනව අවකලනයේ වර්ධනය ඇරඹූවන් ලෙස සැලකේ. මෙසේ සැලකීම සඳහා ප්‍රධාන හේතුව වූයේ අවකලනය සහ අනුකලනය එකිනෙක සම්බන්ධ කරමින් ඔවුන් ඉදිරිපත් කළ කලනයේ මූලික ප්‍රමේයයි. මේත සමඟම ක්ෂේත්‍රඵල හා පරිමා ගණනය කිරීමේ ක්‍රමවේද යල් පැන ගිය තත්වයට පත්විය. ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳව නිවුටන් සහ ලිබ්නිස් යන දෙදෙනා ඉදිරිපත් කළ අදහස් ඔවුනට පෙර ජීවත් වූ අයිසැක් බැරෝ (1630 – 1677) රේනේ ඩෙස්කාටේස් (1596 – 1650) ක්‍රිස්ටියන් හයිජන්ස් (1629 – 1695) බ්ලේස් පැස්කල් (1623 – 1662) සහ ජෝන් වැලිස් (1616 – 1703) ආදී ගණිතඥයන්ගේ වැදගත් සොයා ගැනීම් මත පදනම් වූ ඒවා විය. මේ අතරින් ව්‍යුත්පන්නය පිළිබඳ මූලික කරුණු ගොඩනැඟීම සම්බන්ධයෙන් ගෞරවය අයිසැක් බැරෝට හිමි යැයි පොදුවේ සැලකේ. කෙසේ වෙතත් ලිබ්නිස් සහ නිව්ටන් අවකලනය පිළිබඳව ඉතිහාසයේ ඉතා වැදගත් පුද්ගලයන් ලෙස සැලකේ. එසේ සැලකීමට හේතු වන කරුණු අතරට නිව්ටන් විසින් මුල්වරට සෛද්ධාන්තික භෞතික විද්‍යාව අවකලනය යෙදීමත් වර්තමානය දක්වා අවකලනයේ දී භාවිතා වන බොහෝ අංකන ක්‍රම ලිබ්නිස් විසින් ක්‍රමානුකූලව ගොඩනැඟීමත් යන ඒවා අයත් වේ. 17 වැනි සියවසේ පටන් අවකලන වාදය සඳහා බොහෝ ගණිතඥයින් දායක වී ඇත. ඔගස්ටින් ලුයිස් කෝච් (1789 – 1857), බර්නාඩ් රීමන් (1826 – 1866) සහ කාල් වස්ට්‍රස් (1815 – 1897) ආදී ගණිතඥයින් විසින් 19 වැනි සියවසේ දී කලනය වඩාත් ශක්තිමත් ලෙස නඟා සිටුවන ලදී. තවද මෙම කාලසීමාව තුළ දී අවකලනය යුක්ලීඩියානු අවකාශය සහ සංකීර්ණ තුළ සාමාන්‍යකරණය කිරීමද සිදු විය.
==අවකලනය==
Line 34 ⟶ 48:
[[Category:අවකලනය]]
[[Category:ගණිතය]]
| |||